"Numerele lui Fibonacci"

Pinky_BeBe_Brenda_TiTiTi · Administrator Data inscrierii: 22/Mar/2008 Mesaje: 258

Cartea lui Leonardo din Pisa a cunoscut o larga raspandire in timp de peste 2 secole a fost considerata cea mai competenta sursa de cunostinte in domeniul numerelor.

Potrivit obiceiului din acea epoca, Fibonacci a participat la concursuri matematice- dispute publice pentru cea mai buna si mai rapida solutie a unor dificultăți grele, ceva in genul concursurilor pe tara din zilele noastre!

Iscusinta de care dadea dovada Leonardo in rezolvarea dificultăților cu numere uimise pe toata lumea.

Marea reputaie a lui Fibonacci a facut ca imparatul Germaniei Frederic II sa vina in 1225 la Pisa, insotit de un grup de matematicieni, care doreau sa il supuna pe Fibonacci la un examen public.Una din problemele date spre rezolvare suna astfel:

-sa se gaseasca un patrat ideal , care ramane patrat perfect daca este marit sau micsorat cu 5.Dupa un timp de gandire , Fibonacci a gasit numarul cautat.Era fractia: sau
Intr-adevar: -5= si +5=

Sau
-5= si +5=

Nu cunoastem rationamentul lui Fibonacci , dar problema a fost rezolvata in mod stralucit.
Se poate ca presupunera lui Viaceslav Nezabudkin, student la Institutul Silvic din orasul Ioskar-Ola, sa nu fie departe de adevar.
-Nu cumva Fibonacci a plecat de la reprezentarea geometrica a oricarui patrat perfect ca suma unor numere impare ordinale?
Pornind de la aceasta ipoteza, Viaceslav Nezabutkin a gasit o solutie originala a problemei lui Fibonacci, care este interesanta tocmai prin fatpul ca se apropie de metodele folosite pe timpul lui Fibonacci.

Reproducem cu mici schimbari aceasta solutie.Intreptand gnomonii care completeaza patratul unitate pana la indiferent ce patrat intreg , fig a) obtinem o figura in forma de scara, cu trepte egale de cate 2 casute care se poate continua la infinit, b).Intrerupand aceasta figura la orice coloana din dreapta obtinem o serie de figuri in scara care reprezinta toate numerele intregi patrate perfecte.Figura ne arata ca printre numerele intregi- patrate perfecte- nu se afla si nici nu se pot afla numere care sa satisfaca conditia problemei.Deci numarul cautat este o fractie de forma .

Dup ace scadem si adunam 5 la si aducem la acelasi numitor obtinem:
respectiv
Potrivit enuntului. , , sunt numere intregi, patrate perfecte.Asemenea numere exista , cu conditia ca sa existe doi gnomoni alaturati si egali de forma BEFGDC si EHJKGF(fig 223.a)). avand fiecare un numar de 5n2 casute.Atunci scazand din patratul AEFG (m2) gnomonul BEFGDC (5n2), obtinem patratul ABCD (m2 – 5 n2), iar adaugand la numarul AEFG gnomonul EHJKGF(5n2), obtinem patratul AHJK (m2+5n2).Sa gasim aceste numere gnomonii pe linia franta JFC, iar din fragmentele obtinute construim dreptunghiurile DEBG si GHLK.(fig b))

Luam GN=GK=b si ducem NM ll DE.Deoarece DEBG si GHLK au ariile egale, aria BHLP=aria DEMN. Deci,
= sau =
Prin urmare, = .

E firesc sa presupunem ca, de exemplu, a este multiplu de 5 , adica a=5k, unde k=1,2,3,4...n . Atunci = si b= 4k, find singura valoare posibila a lui b care transforma aceasta fractie intr-un numar intreg – patrat.Totodata, in urma calculelor, constatam ca n=6k.

Asadar, a=5k, b=4k,n=6k.Numitorul fractiei cautate n2=(6k)2 .Sa aflam si numaratorul. Avem: ED=
Mai departe, m=FG dar FG=EC si FG=O, de asemenea OC=OF=a
ED=EC+OD-OC, sau ED=2EC – a ; de unde EC= si m=FG=EC=

Fractia cautata : , adica numarul gasit de Fibonacci.
*Toate incercarile, chiar si cele mai ingenioase, de a rezolva aceasta problema cu susținerea algebrei, duc in cel mai bun caz la o ecuatie de gradul patru cu doua necunoscute.

Sirul lui Fibonacci

Fibonacci a intocmit un sir de numere naturale, care ulterior s-a dovedit nespus de folositor:
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 ,……
Legea formarii termenilor acestui sir este foarte simpla: primii 2 termeni sunt unul, iar fiecare termen urmator se obtine prin adunarea celor 2 termeni care il preced.De exemplu 2=1+1 3=1+2 5=2+3 8=3+5…etc..